(1999年)设∑为椭球面的上半部分,点P(x,y,z)∈∑,∏为∑在点P处的切平面,ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面∏的距离,求

admin2019-03-07  50

问题 (1999年)设∑为椭球面的上半部分,点P(x,y,z)∈∑,∏为∑在点P处的切平面,ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面∏的距离,求

选项

答案点P(x,y,z)∈∑,∑在点P处的法向量为n={x,y,2z},设(X,Y,Z)为∏上任意一点,则∏的方程为 x(X一x)+y(Y—y)+2z(Z—z)=0,化简得[*] 由点到平面的距离公式,O(0,0,0)到∏的距离 [*] 从而 [*] 用投影法计算此第一类曲面积分,将∑投影到xOy平面,其投影域为 D={(x,y)|x2+y2≤2}。 由曲面方程知[*](x,y)∈D,于是 [*] 因此 [*] 故有 [*]

解析
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