(2007年)设幂级数内收敛,其和函数y(x)满足y"一2xy′一4y=0,y(0)=0,y′(0)=1。 (I)证明n=1,2,…; (Ⅱ)求y(x)的表达式。

admin2018-03-11  43

问题 (2007年)设幂级数内收敛,其和函数y(x)满足y"一2xy′一4y=0,y(0)=0,y′(0)=1。
    (I)证明n=1,2,…;
    (Ⅱ)求y(x)的表达式。

选项

答案(I)记[*]则 [*] 代入微分方程y"一2xy′一4y=0,有 [*] 故有(n+2)(n+1)an+2—2nan一4an=0,即 [*] (Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y′(0)=1知,a0=0,a1=1,于是根据递推关系式 [*] 有a2n=0,[*]故 [*]

解析
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