设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关。当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向

admin2019-03-23  29

问题 设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关。当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

选项

答案记A=(α1,α2,α3,α4),则 |A|=[*]=(a+10)a3, 因此当a=0或a= —10时,|A|=0,即α1,α2,α3,α4线性相关。 当a=0时,α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1。 当a= —10时,对A作初等行变换,即 [*] =(β1,β2,β3,β4)。 由于β2,β3,β4是β1,β2,β3,β4的一个极大线性无关组且β1= —β2—β3—β4,故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组且α1= —α2—α3—α4

解析
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