某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×1

admin2018-04-14 67

问题某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×10⁶)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?
注：kg表示千克，km／h表示千米／小时。

选项

答案方法一：由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v₀=700km／h。从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)。由牛顿第二定律，得mdv／dt=－kv。又dv／dt=／dv／dx．dx／dt=vdv／dx，从而得dx=－m／kdv，积分得x(t)=－m／kv+C。又v(0)=v₀，x(0)=0，故得C=m／kv₀，从而x(t)=m／k(v₀－v(t))。当v(t)→0时， [*] 所以，飞机滑行的最长距离为1．05km。方法二：根据牛顿第二定律，得mdv／dt=－kv，即dv／v=－k／mdt。两端积分得通解v=Ce^－k／mt，代入初始条件v|_{t=0=v₀，解得C=v₀，故v(t)=v₀e^－k／mt。
飞机滑行的最长距离为
x=∫₀^+∞v(t)dt
[*]
=mv₀／k=1．05(km)。
[*]
故最长距离为当t→∞时，
x(t)→mv₀／k=1．05(km)。}

解析

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考研数学二

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考研数学二

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