设矩阵A=相似于对角矩阵. (1)求a的值; (2)求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=xTAx化为标准形,其中x=(x1,x2,x3)T.

admin2017-07-10  45

问题 设矩阵A=相似于对角矩阵.
(1)求a的值;
(2)求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=xTAx化为标准形,其中x=(x1,x2,x3)T

选项

答案(1)A的特征值为6,6,一2,故由A可相似对角化知矩阵6E一A=[*]的秩为1,[*]a=0. (2)f= xTAx=(xTAx)T=xTATx=[*](xTAx + xTATx)=[*],故f的矩阵为[*](A+AT)=[*]= B,计算可得B的特征值为λ1=6,λ2=一3,λ3=7,对应的特征向量分别可取为ξ1=(0,0,1)T,ξ2=(1,一 1,0)T,ξ1=(1,1,0)T,故有正交矩阵 [*] 使得P一1BP=PTBP=diag(6,一3,7),所以,在正交变换[*]下,可化f成标准形f=6y12一3y22+7y32

解析
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