2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]．上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]．上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

admin2022-10-27  5
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]．上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
选项
答案由f(x)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫xbg(t)dt=0，即(∫axf(t)dt∫xbg(t)dt)’=0，则辅助函数为φ(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt． 令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)≈0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
解析
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考研数学一

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