2. 考研
  3. 设A=E—ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n×1非零矩阵，αT是α的转置，证明： (1)A2=A的充要条件是αTα=1． (2)当αTα=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E—ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n×1非零矩阵，αT是α的转置，证明： (1)A2=A的充要条件是αTα=1． (2)当αTα=1时，A是不可逆矩阵．

admin2020-09-29  20
问题 设A=E—ααT，其中E是n阶单位矩阵，α是n×1非零矩阵，αT是α的转置，证明：
  (1)A2=A的充要条件是αTα=1．
  (2)当αTα=1时，A是不可逆矩阵．
选项
答案(1)由A=E—ααT可得， A2=(E—ααT)(E—ααT)=E—ααT—ααT+ααTααT =E一2ααT+(αTα)ααT=E一(2一αTα)ααT． 若A2=A，则E一(2一αTα)ααT=E一ααT，因此(1一αTα)ααT=O，而α≠O，则ααT≠O，所以1一αTα=0，即αTα=1．反之，若αTα=1，则A2=E—ααT=A． (2)若αTα=1，由(1)知A2=A，若A是可逆矩阵．则A-1A2=A-1A，即E=A=E一ααT，所以ααT=O，与α≠0矛盾，所以当αTα=1时，A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学一

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