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  3. 已知函数x=f(x，y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

已知函数x=f(x，y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。

admin2021-01-19  32
问题 已知函数x=f(x，y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。
选项
答案由题设可知 [*] 于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=－2y，从而C(y)=－y2+C，再由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2－y2+2。 令[*]=0得可能极值点为(0，0)。 再考虑其在边界曲线x2+[*]=1上的情形。 作拉格朗日函数 F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+[*]－1)， 解得 [*] 得可能极值点(0，2)，(0，－2)，(1，0)，(－1，0)。 将上述各点代入f(x，y)得f(0，0)=2，f(0，±2)=－2，f(±1，0)=3，可见z=f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+[*]≤1)内的最大值为3，最小值为－2。
解析
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考研数学二

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