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设函数f(χ)(χ≥0)可微,且f(χ)>0.将曲线y=f(χ),χ=1,χ=a(a>1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)-f(1)].若f(1)=,求: (1)f(χ); (2)f(χ)的极值.
设函数f(χ)(χ≥0)可微,且f(χ)>0.将曲线y=f(χ),χ=1,χ=a(a>1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)-f(1)].若f(1)=,求: (1)f(χ); (2)f(χ)的极值.
admin
2019-07-22
62
问题
设函数f(χ)(χ≥0)可微,且f(χ)>0.将曲线y=f(χ),χ=1,χ=a(a>1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为
[a
2
f(a)-f(1)].若f(1)=
,求:
(1)f(χ);
(2)f(χ)的极值.
选项
答案
(1)由题设知π∫
1
a
f
2
(χ)dχ=[*][a
2
-f(a)-f(1)],两边对a求导,得 3f
2
(a)=2af(a)+a
2
[*], 令[*], 即f(a)=[*],由f(1)=[*],得c=-1,所以f(χ)=[*]. (2)因为f′(χ)=[*], 令f′(χ)=0,得χ=[*], 又因为f〞([*])<0,所以[*]为极大值.
解析
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考研数学二
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