设3阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，且｜A｜=2，求矩阵A的全部特征值．

admin2020-04-30 11

问题设3阶矩阵A满足A²-3A+2E=O，且｜A｜=2，求矩阵A的全部特征值．

选项

答案设λ为矩阵A的任意一个特征值，α为属于λ的特征向量．所以Aα=λα，于是 A²α-3Aα+2α=0．即 λ²α-3λα+2α=0，亦即 (λ²-3λ+2)α=0，而α≠0，从而λ²-3λ+2=0，于是，得 (λ-1)(λ-2)=0．得A的特征值为λ=1或λ=2．又｜A｜=2≠0，故矩阵A的3个特征值λ₁，λ₂，λ₃应满足λ₁λ₂λ₃=2．因此λ₁，λ₂，λ₃只能取1或2，由此得A的特征值应为λ₁=λ₂=1，λ₃=2．

解析本题考查用矩阵特征值与特征向量的定义求抽象矩阵的特征值．

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