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(1)验证函数(一∞<x<+∞)满足微分方程 y”+y’+y=ex; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
(1)验证函数(一∞<x<+∞)满足微分方程 y”+y’+y=ex; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
admin
2016-01-11
59
问题
(1)验证函数
(一∞<x<+∞)满足微分方程
y”+y’+y=e
x
;
(2)利用(1)的结果求幂级数
的和函数.
选项
答案
(1)先验证该幂级数的收敛区间是(一∞,+∞).这是缺项的幂级数,令t=x
3
,则 [*] t∈(一∞,+∞),从而x∈(一∞,+∞)时,原级数收敛. 其次,在收敛区间内对幂级数可以逐项求导. [*] (2)因为幂级数[*]的和函数y(x)满足微分方程 y”+y’+y=e
x
. 又y(0)=1,y’(0)=0,所以为求y(x)只须解上述二阶常系数线性微分方程的初值问题。 微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ
2
+λ+1=0.特征根[*]通解为 [*] 设非齐次线性方程的一个特解为y*=Ae
x
,代入方程得[*]所以,非齐次线性方程的通解为 [*] 由初始条件,得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/xUDRFFFM
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考研数学二
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