2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？

设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？

admin2022-06-19  40
问题 设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2．
(1)求A的全部特征值；
(2)A是否可对角化？
选项
答案利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量． (1)由题设知，A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)， A(α2一α1)=Aα2一Aα1=α3+α1一(α2+α3)=一(α2一α1)， A (α3一α1)=Aα3一Aα1=α1+α2一(α2+α3)=一(α3一α1)． 又因为α1 ，α2 ，α3线性无关，所以 α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0． 可得一1，2是A的特征值；α2一α1 ，α3一α1 ，α1+α2+α3是相应的特征向量． 又由α1 ，α2 ，α3线性无关，得α2一α1 ，α3一α1也线性无关，所以一1是A的二重特征值，即 A的全部特征值为一1，一1，2． (2)由α1 ，α2 ，α3线性无关可证明α2一α1 ，α3一α1 ，α1+α2+α3线性无关， 事实上，由矩阵表示法： [α2一α1 ，α3一α1 ，α1+α2+α3]=[α1 ，α2 ，α3][*] 而α1 ，α2 ，α3线性无关，右边的三阶行列式不等于0，其矩阵可逆，故 α2一α1 ，α3一α1 ，α1+α2 α3 线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A为可对角化．
解析
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考研数学三

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