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  3. 设直线L：及π：x－y+2z－1=0． 求直线L在平面π上的投影直线L0．

设直线L：及π：x－y+2z－1=0． 求直线L在平面π上的投影直线L0．

admin2019-09-27  56
问题 设直线L：及π：x－y+2z－1=0．
求直线L在平面π上的投影直线L0．
选项
答案方法一 令[*]=t，即x=1+t，y=t，z=1－t，将x=1+t，y=t，z=1－t代入平面x－y+2z－1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)． 过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1={1，1，－1}×{1，－1，2}={1，－3，－2}，平面方程为 π1：1×(x－2)－3×(y－1)－2×z=0，即π1：x－3y－2z+1=0 从而直线L在平面π上的投影直线的一般式方程为 L0：[*] 方法二 直线L转化成一般式方程为L：[*] 过直线L的平面束为(x－y－1)+λ(y+z－1)=0，即x+(λ－1)y+λz－(λ+1)=0，当{1，λ－1，λ}⊥{1，－1，2}，即λ=－2时，过直线L的平面与平面π垂直，把λ=－2代入平面束方程，则与π垂直的平面方程为π1：x－3y－2z+1=0，直线L在平面π上的投影直线为 L0：[*] 方法三 设过直线L且与平面π垂直的平面方程为π1：A(x－1)+By+C(z－1)=0，则有{A，B，C}⊥{1，－1，2)，{A，B，C}⊥{1，1，－1}，即[*]，解得A=[*]=0，即 π1：x－3y－2z+1=0 从而L在平面π的投影直线为 L0：[*]
解析
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考研数学一

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