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  3. 已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，又B＝A3－5A2，则｜B＋4E｜＝_______．

已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，又B＝A3－5A2，则｜B＋4E｜＝_______．

admin2019-01-12  25
问题 已知3阶矩阵A的特征值为1，－1，2，又B＝A3－5A2，则｜B＋4E｜＝_______．
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解析 设矩阵A的特征值是λ，容易导出，矩阵B＝A3－5A2的特征值为λ3－5λ2．由于A的特征值为1，－1，2，则矩阵B的特征值分别是
    13－5×12＝－4，  (－1)3－5×(－1)2＝－6，23－5×22＝－12．
    同样，设矩阵B的特征值为μ，则矩阵B＋4E的特征值为μ＋4．于是，矩阵B＋4E的特征值分别为0，－2，－8．因为矩阵B＋4E有3个相异的特征值，故存在可逆矩阵P，使得
    P-1(B＋4E)P＝
    所以｜B＋4E｜＝0×(－2)×(－8)＝0．
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考研数学一

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