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设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.证明: |A|>0;
设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定二次型.证明: |A|>0;
admin
2018-08-22
40
问题
设f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=X
T
AX是正定二次型.证明:
|A|>0;
选项
答案
用f正定的充要条件证:f=X
T
AX正定[*]存在可逆矩阵C,使得C
T
AC=E. A=(C
T
)
-1
C
-1
[*]|A|=|C
-1
|
2
>0. 或用反证法:若|A|≤0,则|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
≤O,必有λ
t
≤0. 设λ
i
对应的特征向量为α
i
,则有Aα
i
=λ
i
α
i
,两端左边乘α
i
T
,得 α
i
T
Aα
i
=λ
i
α
i
T
α
i
≤0 (因α
i
T
α
i
>0,λ
i
≤0), 这和f是正定二次型矛盾,故|A|>0.
解析
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0
考研数学二
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