设三阶矩阵A的特征值是0,1,—1,则下列选项中不正确的是( )

admin2019-05-15  24

问题 设三阶矩阵A的特征值是0,1,—1,则下列选项中不正确的是(    )

选项 A、矩阵A—E是不可逆矩阵。
B、矩阵A+E和对角矩阵相似。
C、矩阵A属于1与—1的特征向量相互正交。
D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。

答案C

解析 因为矩阵A的特征值是0,1,—1,所以矩阵A—E的特征值是—1,0,—2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值,所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1,2,0,矩阵A+E有三个不同的特征值,所以A+E可以相似对角化。(或由A~ΛA+E~Λ+E而知A+E可相似对角化)。
由矩阵A有一个特征值等于0可知,r(A)=2,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。
C选项的错误在于,若A是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交,而一般n阶矩阵,不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交,故选C。
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