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设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a的取值范围是________
设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a的取值范围是________
admin
2019-01-05
37
问题
设A是m×n矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+A
T
A是正定阵,则a的取值范围是________
选项
答案
a<0
解析
B
T
=(-aE+A
T
A)
T
=-aE+A
T
A=B,故B是一个对称矩阵.
B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0,都有
x
T
Bx=x
T
(-aE+A
T
A)x=-ax
T
x+x
T
A
T
Ax=-ax
T
x+(Ax)
T
Ax>0,
其中(Ax)
T
(Ax)≥0,x
T
x>0,因此a的取值范围是-a>0,即a<0.
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考研数学三
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