已知三元二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX, 矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换; (2)求出此二次型; (3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.

admin2016-12-16  46

问题 已知三元二次型
f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX,
矩阵A的对角元素之和为3,且AB+B=0,其中

(1)用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的坐标变换;
(2)求出此二次型;
(3)若β=[4,一1,0]T ,求A*β.

选项

答案(1)令B=[α1 ,α2 ,α3],αi为B的列向量,显然α1 ,α2线性无关,α312 ,因而r(B)=2,由AB=一B得到 A[α1 ,α2 ,α3]=一[α1 ,α2 ,α3],即 Aα1=一α1 ,Aα2=一α2 ,Aα3=一α3. 因α1 ,α2线性无关,故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量,所以λ12=一1为二重特征值.又因A的主对角线上的元素之和为λ123=3,故另一特征值为λ3=5. 设属于λ3=5的特征向量为α=[x1 ,x2 ,x3]T ,则 αα1T=0,αα2T=0. [*] 故 α=[1,1,1]T. 对α1 ,α2进行施密特正交化得到 [*] 再将β1 ,β2 ,β3单位化,得到 [*] 令Q=[η1 ,η2 ,η3],则Q为正交矩阵,且经正交变换X=QY后,二次型的标准形为 f=一y12一y22+5y32. [*] 故 f=XTAX=x12+x22+x32+4x1x2+4x2x3+4x1x3. (3)设 p=k1α1+k2α2+k3α3 , 解得 k1=3,k2=一2,k3=1. 因此p=3α1一2α2+α,而 Aα1=一α1 ,Aα2=一α2 ,Aα=5a, 故 Anβ=一An(3α1一2α2+α)=3Anα1一2Anα2+Anα =3(一1)nα1—2(一1)nα2+5nα [*]

解析 先由AB=一B,B=[α1 ,α2 ,α3]得到Aαi=一αi(i=1,2,3),从而求出A的部分特征值及其特征向量,再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值,再由特征向量正交,求出其余的特征向量,再正交单位化,即可得到正交变换矩阵Q,从而可求出A,将β写成特征向量的线性组合即可求出Anβ.
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