求函数f(x)=∫1x2(x2-t)e-t2dt的单调区间与极值。

admin2014-01-26  44

问题 求函数f(x)=∫1x2(x2-t)e-t2dt的单调区间与极值。

选项

答案f(x)=∫1x2(x-t2)e-t2dt=x21x2e-t2dt-∫1x2te-t2dt f’(x)=2x∫1x2ee-t2dt+2x3e-x4-2x3e-x4=2x∫1x2e-t2dt 令f’(x)=0,得x=0,x=±1. 因为当x>1时,f’(x)>0:当0<x<1时,f’(x)<0;当-1<x<0时,f’(x)≥0;当x<-1时,f’(x)<0. 所以,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1);f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞);极小值为f(1)=f(-1)=0,极大值为 f(0)=∫10(0-t)et2=[*].

解析 [分析]  求变限积分f(x)的一阶导数,利用其符号判断极值并求单调区间.
[评注]  也可用二阶导数的符号判断极值点,此题属基本题型.
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