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  3. 设f(x)=(x-x0)nφ(x)(n为自然数)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)≠0，则点x0( )

设f(x)=(x-x0)nφ(x)(n为自然数)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)≠0，则点x0( )

admin2017-09-07  34
问题 设f(x)=(x-x0)nφ(x)(n为自然数)，其中φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)≠0，则点x0(    )
选项 A、不是f(x)的极值点．
B、是f(x)的极小值点．
C、是f(x)的极大值点．
D、是否为f(x)的极值点与n有关．
答案D
解析 由于题设仅给出φ(x)在点x0处连续，因此不能用极值的充分条件判定点x0是否是极(大，小)值点，故只有考虑用极值的定义判定．
    因为f(x0)=0，在x0的某一邻域内，
    f(x0+△x)-f(x0)=(△x)’’φ(x0+Ax)，
又φ(x0)≠0，不妨设φ(x0)＞0，则由(x0+△x)=φ(x0)＞0与极限的局部保号性，存在x0的某一邻域，使得在该邻域内φ(x0+△x)＞0．
    当n为偶数时，在x0的某去心邻域内，f(x+△x)-f(x0)＞0，f(x+△x)＞f(x0)，x0是f(x)的极小值点；
当n为奇数时，f(x0+△x)-f(x0)的符号不确定，即x0不是f(x)的极值点．故应选D．
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