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  3. 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2}=，P{Y=y1｜X=x2} =，P{X=x1｜Y=y1}=，试求： (Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρxy；

设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2}=，P{Y=y1｜X=x2} =，P{X=x1｜Y=y1}=，试求： (Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρxy；

admin2015-05-07  42
问题 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2}=，P{Y=y1｜X=x2} =，P{X=x1｜Y=y1}=，试求：
    (Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；
    (Ⅱ)X与Y的相关系数ρxy；
    (Ⅲ)条件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．
选项
答案依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x1，x2与y1，y2，且 P{X=x1}=1－P{X=x2}=1－[*]=1／4 又题设 P{X=x1｜Y=y1}=1／4， 于是有P{X=x1｜Y=y1}=P{X=x1}， 即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立，因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=y1}独立，且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立；{X=x2}与{Y=y2}独立，即X与Y相互独立． (Ⅰ)因x与y独立，所以有 P{Y=y1}=P{Y=y1｜X=x2}=2／3； P{Y=y2}=1－P{Y=y1}=1／3； P{X=x1，Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1}=[*]； P{X=x1，Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=[*]； P{X=x2，Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=[*]； P{X=x2，Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=[*]； 或P{X=x2，Y=y2}=1－[*]； 于是(X，Y)的联合概率分布为 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立，因此它们的相关系数ρXY=0． (Ⅲ)因X与Y独立，所以P{Y=yj｜X=x1}=P{Y=yj}，j=1，2，于是有 P{Y=y1｜X=x1}=P{Y=y1}=2／3， P{Y=y2｜X=x1=P{Y=y2}1／3．
解析
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考研数学一

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