设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.

admin2021-02-25  36

问题 设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.

选项

答案证法1:设有一组数k0,k1,…,km-1使 k0α,k1Aα,…,km-1Am-1α=0, (1) 用Am-1左乘(1)式两边,得 k1Am-1α=0, 又Am-1α≠0,故k0=0.从而(1)式变为 k1Aα+…+km-1Am-1α=0, (2) 再用Am-2左乘(2)式两边得k1Am-1α=0,又Am-1α≠0,故k1=0.以此类推,可得k0=0,k1=0,…,km-1=0,从而α,Aα,…,Am-1α线性无关. 证法2:反证法,设α,Aα,…,Am-1α线性相关,则存在一组不全为零的数k0,k1,…,km-1,使 k0α+k1Aα+…+km-1Am-1α=0, 设从左起第一个不为零的数为ki,上式变为 kiAiα+ki+1Ai+1α+…+km-1Am-1α=0. 由于Amα=0,用Am-i-1左乘等式两边得kiAm-1α=0. 由于ki≠0,则Am-1α=0,矛盾,从而α,Aα,…,Am-1α线性无关.

解析 本题考查向量组线性无关的概念,可以用定义证明.根据本题的条件,我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法.
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