2. 考研
  3. 设函数f(x)在[1，+∞)上可导，f(1)=一2。f’(ex+1)=3e2x一3． (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求由x=1，x=2，y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积．

设函数f(x)在[1，+∞)上可导，f(1)=一2。f’(ex+1)=3e2x一3． (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求由x=1，x=2，y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积．

admin2020-09-23  19
问题 设函数f(x)在[1，+∞)上可导，f(1)=一2。f’(ex+1)=3e2x一3．
(I)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求由x=1，x=2，y=f(x)及x轴所围成的图形分别绕x轴、x=2旋转一周所成旋转体的体积．
选项
答案(I)令ex+1=t，则ex=t一1，从而f’(t)=3(t一1)2一3，即f’(t)=3t2一6t，上式两边对t积分，得 f(t)=t3一3t2+C， 由f(1)=-2，得C=0，所以f(t)=t3一3t2，即f(x)=x3一3x2． (Ⅱ)由x=1，x=2，y=f(x)及x轴围成的图形如下图(见下页)所示，该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为 Vx=∫12π(x3-3x2)2dx=[*] 该图形绕x=2旋转一周所成旋转体的体积为 Vx=2=∫122π(2一x)(3x2-x3)dx=[*] [*]
解析
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考研数学一

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