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设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零． (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．
设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零． (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．
admin
2019-06-04
24
问题
设a
1
＝(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)，a2＝(a
2
，－a
1
，a
4
，－a
3
)，a
3
＝(a
3
，－a
4
，－a
1
，a
2
)，其中a
i
(i＝1，2，3，4)不全为零．
(Ⅰ)证明a
1
，a
2
，a
3
线性无关；
(Ⅱ)记
，证明AA
T
是正定矩阵．
选项
答案
(Ⅰ)用反证法．假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
α
3
＝0． (*) 因[*] 又α
j
α
j
T
＝[*]≠0，j＝1，2，3．故将式(*)两端左乘α
j
T
，j＝1，2，3，得 k
j
α
j
α
j
T
＝0，α
j
α
j
T
≠0[*]k
j
＝0，j＝1，2，3， 这和假设矛盾，得证α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则r(A)＝3，且AA
T
是实对称矩阵．则齐次方程组A
T
x＝(α
1
T
，α
2
，α
3
T
)x＝0仅有唯一零解，则对任给的x≠O，A
T
x＝(α
1
T
，α
2
T
，α
3
T
)x≠0，将其两端右乘(A
T
x)
T
，得 (A
T
x)
T
(A
T
x)＝x
T
AA
T
x＞0， 由矩阵正定的定义，证得AA
T
是正定矩阵．
解析
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考研数学一
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