若非零向量β与n维向量组A：α1，α2…，αn中向量都正交，则向量组A必线性相关．

admin2020-06-05 18

问题若非零向量β与n维向量组A：α₁，α₂…，α_n中向量都正交，则向量组A必线性相关．

选项

答案设向量组A线性无关，因n＋1个n维向量必线性相关，故向量组α₁，α₂…，α_n，β必线性相关．于是向量β必可由向量组A线性表示，不妨设表示式为 β＝k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_nα_n用此表示式计算向量β的长度，并利用[α_i，β]＝0(i＝1，2，…，n)，得｜β｜²＝[β，β]＝[k₁α₁＋…＋k_nα_n，β]＝k₁[α₁，β]＋…＋k_n[α_n，β]＝0 由向量长度的性质知β＝0，此与β为非零向量矛盾，所以向量组A必线性相关．

解析

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考研数学一

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