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  3. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-05-15  29
问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(    )
选项 A、二次型χTAχ的负惯性指数为零
B、存在可逆矩阵P使P-1AP＝E
C、存在n阶矩阵C使A＝C-1C
D、A的伴随矩阵A*与E合同
答案D
解析 选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)＝p＋q≤n，当q＝0时，有r(f)＝p≤n．此时有可能p＜n，故二次型χTAχ不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(χ1，χ2，χ3)＝χ125χ32
    选项B是充分不必要条件．这是因为P-1AP＝E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
    选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A＝CTC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如

    显然矩阵不正定．
    关于选项D，由于
    A正定A-1正定A*正定
    A*正定A*与E合同
    所以D是充分必要条件．
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