求一组向量α1，α2，使之与α3=(1，1，1)T成为R3的正交基；并把α1，α2，α3化成R3的一个标准正交基．

admin2021-02-25 36

问题求一组向量α₁，α₂，使之与α₃=(1，1，1)^T成为R³的正交基；并把α₁，α₂，α₃化成R³的一个标准正交基．

选项

答案依题意，设所求向量为x，于是(x，α₃)=0．即得方程组x₁+x₂+x₃=0，解得方程组的基础解系ξ₁=(-1，1，0)^T，ξ₂=(-1，0，1)^T，将ξ₁，ξ₂正交化得 [*] 则α₁=(-1，1，0)^T，α₂=(-1/2，-1/2，1)^T，α₃=(1，1，1)^T为R³的一个正交基．将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*] [*] 故e₁，e₂，e₃为所求R³的一个标准正交基．

解析本题考查向量空间的基、标准正交基的概念和正交基的化法．

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