设在区间[0,2]上,|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1。证明:对于任意的x∈[0,2],有 |f’(x)|≤2。

admin2018-05-25  36

问题 设在区间[0,2]上,|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1。证明:对于任意的x∈[0,2],有
    |f’(x)|≤2。

选项

答案对任意的x∈[0,2],将函数按(y一x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f’(x)(y—x)+[*](y—x)2。 令y=0和y=2,得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*]x2,x<ξ1<x。 f(2)=f(x)+f’(x)(2一x)+[*](2一x)2,x<ξ2<2。 上面两式相减,得 f(2)一f(0)=2f’(x)+[*][f"(ξ2)(2一x)2一f"(ξ1)x2], 即 f’(x)=[*][f"(ξ2)(2一x)2一f"(ξ1)x2]。 由题设条件,|f(x)|≤1,且|f"(x)|≤1,则 |f’(x)|≤[*][|f"(ξ2)"(2一x)2+|f"(ξ1)|x2] ≤1+[*][(2一x)2+x2]≤2。 命题得证。

解析
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