设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，当x＞0时满足xf’(x)=(1一x)f(x)，当x≤0时，f(x)=0．问常数a为何值时，概率P{a＜X＜a+1}最大．

admin2016-01-11 59

问题设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，当x＞0时满足xf’(x)=(1一x)f(x)，当x≤0时，f(x)=0．问常数a为何值时，概率P{a＜X＜a+1}最大．

选项

答案由xf’(x)=(1一x)f(x)，解得f(x)=cxe^-x，x＞0，再由∫_-∞^+∞f(x)dx=1，得c=1．所以 [*] 又P{a＜X＜a+1}=∫_a^a+1xe^-xdx．设φ(a)=∫_a^a+1xe^-xdx，φ’(a)=(a+1)e^-(a+1)-ae^-a． [*]

解析本题没有直接给出概率密度表达式，因此先通过解其所满足的微分方程得到f(x)的表达式，再根据求函数最大最小值的方法确定a．

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考研数学二

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