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  3. 求矩阵A＝的特征值与特征向量，并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵．

求矩阵A＝的特征值与特征向量，并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵．

admin2020-06-05  16
问题 求矩阵A＝的特征值与特征向量，并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵．
选项
答案因为矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝(λ－2)(λ＋1)2 所以A的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝﹣1． 当λ1＝2时，解方程组(A－2E)x＝0．由 A－2E[*] 得基础解系为α1＝(1，1，1)T，故与特征值λ＝2对应的特征向量为c1α1(c1≠0)． 当λ2＝λ3＝﹣1时，方程组(A－2E)x＝0．由 A＋E＝[*] 得基础解系为α2＝(﹣1，1，0)T，α3＝(﹣1，0，1)T，故与特征值λ＝1对应的特征向量为c2α2＋c3α3，其中c2，c3不全为零． 对α2，α3进行正交化，令 β1＝α2＝(﹣1，1，0)T β2＝α3－[*]＝(﹣1，0，1)T－[*]＝[*](﹣1，﹣1，2)T 再对α1，β1，β2单位化，令 [*] 取P＝(p1，p2，p3)＝[*]，则PTAP＝diag(2，﹣1，﹣1)．
解析
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考研数学一

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