设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用上题的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2019-05-16 53

问题设

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用上题的结果判断矩阵B—C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案因D正定，而P^TDP合同于D，知，P^TDP为正定矩阵，即 [*] 为正定矩阵．选[*]及任意Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T≠0，则 [*] =X^TAX+Y^T(B—C^TA^-1C)Y=Y^T(B—C^TA^-1C)Y＞0，故B—C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学一

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