设f(x)在区间[0,1]上可微,当0≤x<1时,恒有0<f(1)<f(x),且f’(x)≠f(x).讨论在(0,1)内存在唯一的点ξ,使得

admin2021-02-25  43

问题 设f(x)在区间[0,1]上可微,当0≤x<1时,恒有0<f(1)<f(x),且f’(x)≠f(x).讨论在(0,1)内存在唯一的点ξ,使得

选项

答案先证存在性. 令[*],则g(x)在[0,1]上连续,又 [*] 由零点定理知,存在ξ∈(0,1)使得g(ξ)=0,即[*] 再证唯一性,用反证法. 假设存在ξ1,ξ21≠ξ2)满足[*].不妨设ξ1<ξ2.显然g(ξ1)=g(ξ2)=0,由罗尔定理,存在η∈(ξ1,ξ2)使得g’(η)=0,即f’(η)-f(η)=0.这与条件f’(x)≠f(x)矛盾.即假设不成立.因此满足[*]的ξ是唯一的.

解析
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