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  3. 设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f’’’(ξ)＝3．

设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f’’’(ξ)＝3．

admin2019-08-01  34
问题 设函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0，证明：在开区间(－1，1)内至少存在一点ξ，使f’’’(ξ)＝3．
选项
答案[详解] 在x＝0处，将f(x)按泰勒公式展开，得[*] 其中η介于0与x之间，x∈[－1，1]． 分别令x＝－1和x＝1，并根据已知条件，得[*] 两式相减，可得 f’’’(η1)＋f’’’(η2)＝6． 由f’’’(x)的连续性，f’’’(x)在闭区间[η1，η)2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 [*] 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η1，η2][*](－1，1)，使 [*]
解析 [分析]  一般来说，题设条件具有二阶或二阶以上的导数时，往往需要应用泰勒公式．本题题设具有三阶连续导数，从要证的结论可以看出，应展开到三阶导数项．
[评注1]  一般地，用泰勒公式展开有
F(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x＋x0)＋
其中在x0与x之间．应特别注意的是，ξ随x的变化而变化．本题中，当x分别取－1和1时，对应η应分别取η1和η2，并不是固定不变的，否则就会出现错误．
[评注2]  在泰勒展开式中，x0的选取也是值得注意的．一般来说，取x0为一阶导数值是已知的点(如：本例中f’(0)＝0)或隐含已知的点，比如极值点、最值点等．
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考研数学二

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