2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

admin2013-08-30  71
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32    (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
    (Ⅰ)求a，b的值；
    (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ1，λ2，λ3，则由已知条件知λ1+λ2+λ3=1，λ1λ2λ3=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得 [*]，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]，可求出A的特征值为 λ1=λ2=2，λ3=-3．不难求得对应于λ1=λ2=2的特征向量为ξ1=[*] 对应于λ3=-3的特征向量为ξ3=[*]，对λ1，λ2，λ3正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y12+2y22-3y32．
解析
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考研数学一

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