设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

admin2013-08-30 82

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2₂²+(-2₃²)+2bx₃² (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则由已知条件知λ₁+λ₂+λ₃=1，λ₁λ₂λ₃=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得 [*]，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]，可求出A的特征值为 λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．不难求得对应于λ₁=λ₂=2的特征向量为ξ₁=[*] 对应于λ₃=-3的特征向量为ξ₃=[*]，对λ₁，λ₂，λ₃正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

考研数学一

设A＝(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0(i，j＝1，2，3)，则｜A｜＝________．

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．用正交变换x=Py化二次型xTAx为标准形，并写出所用的正交变换；

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．求a，b的值；

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

设D：x2+y2≤1；D1：x2+y2≤1，x≥0，y≥0．则下列选项中不成立的是()

设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=n-1时，r(A)=1；

设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=n时，r(A)=n；

设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f”’(ξ)=3．

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是()．

患者金某，交通事故后导致第五颈椎骨折、第六颈椎前脱位，行颅骨牵引治疗。护士应帮助患者采取下列哪种体位()。

进行非同步电除颤时，电量应选择在

通常所说的血型是指

根据《建设工程项目管理规范》(GB／T50326—2006)，关于项目经理权限的说法，正确的有()。

强夯法在国际上又称动力固结法或称动力压实法，其实质是反复将很重的锤提到一定高度使其自由落下，给地基以冲击和振动能量，将其压密，()，降低土的压缩性，改善地基性能。

施工企业确认坏账损失应符合下列条件()之一。

根据规定，对国家政策性银行记载资金的账簿，一次贴花数额较大、难以承担的，经当地税务机关核准，可在()内分次贴足印花。

下列不属于幼儿心理健康教育方法的是()。

蔡某挪用公款60万元，交给其哥做假烟生意，一个月后出于恐惧又将赃款悄悄退回单位。蔡某的行为属于()。

可作为报表记录源的是

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