设函数f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在(-1,1)内至少存在一点ξ,使得f”’(ξ)=3.

admin2021-02-25  68

问题 设函数f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在(-1,1)内至少存在一点ξ,使得f”’(ξ)=3.

选项

答案将f(x)在x=0处展成泰勒公式, [*],η在0与x之间. 当x=±1时,有 [*] 上面两式相减得 f”’(η1)+f”’(η2)=6. 由f”’(x)的连续性知,f”’(x)在[η2,η1]上有最大值M和值小值m,则 [*] 再由连续函数的介值定理知,至少存在ξ∈[η2,η1][*](-1,1),使 [*]

解析 本题考查利用泰勒公式证明中值问题.由于f(x)在区间[-1,1]上有三阶连续导数,故考虑将函数f(x)在恰当点展开,根据已知条件,应将f(±1)在x=0处展开三阶泰勒公式,再利用介值定理证得结论.
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