设A是m×n矩阵,则下列4个命题 ①若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解; ②若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解; ③若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解; ④若r(A)=n,则齐次方程组

admin2019-07-24  24

问题 设A是m×n矩阵,则下列4个命题
    ①若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解;
    ②若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解;
    ③若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解;
    ④若r(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解
    中正确的是

选项 A、①③
B、①④
C、②③
D、②④

答案B

解析 因为A是m×n矩阵,若r(A)=m,说明A的行向量组线性无关,那么它的延伸组必线性无关.所以必有=m.从而r(A)=,故线性方程组Ax=b必有解,①正确.下面只需判断③或④正确即可.
    若r(A)=n,说明A的列向量组线性无关,亦即Ax=0只有零解,所以④正确,故应选(B).
    当r(A)=m时,必有n≥m.如果m=n,则Ax=0只有零解,而m当r(A)=n时,有可能是n+1,方程组Ax=b可以无解.所以③不正确.
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