设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中,不一定成立的是 ( )

admin2018-11-22  29

问题 设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中,不一定成立的是    (    )

选项 A、如果|A|>0,则|E|>0
B、如果A可逆,则存在可逆矩阵P,使得PB=E
C、如果AE,则|E|≠0
D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B

答案A

解析 两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同.
    当A可逆时,有r(A)=n,因此有r(B)=n,也即B是可逆的,故B-1B=E,可见B中命题成立.AE的充要条件也是r(A)=n,此时也有r(B)=n,故|B|≠0,可见C中命题也是成立的.矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,可知D中命题也是成立的.
    故唯一可能不成立的是A中的命题.事实上,当|A|>0时,我们也只能得到r(B)=n,也即|B|≠0,不一定有|B|>0.故选A.
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