设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2018-04-15 26

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

选项

答案因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/QpVRFFFM

考研数学一

相关试题推荐

求
设函数u(x)，u(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)；
设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=___________．
设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上
原点O(0，0，0)到直线的距离d＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。求A的特征值、特征向量。
已知α1＝[－1，1，a，4]T，α2＝[－2，1，5，a]T，α3＝[a，2，10，1]T是四阶方阵A的三个不同特征值的特征向量，则a的取值为()。
已知随机变量X1与X2相互独立，且有相同的分布如下：则D(X1＋X2)＝()。
设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。
以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是()

随机试题

HIV的传播途径不包括
初产妇，40周妊娠，规律宫缩17小时，现宫口开大3cm半小时，胎膜末破，先露头，S-0，宫缩20～30秒/5～6分，弱，规律。此产妇目前应首选的处理是
女性，42岁，劳累后反复发作性黄疸20年。无发热、腹部不适、食欲不振，小便颜色正常。查体：一般情况好，巩膜轻度黄染，皮肤正常，未见肝掌。腹平软，无压痛，肝脾未触及。化验：Hb142g/L，ALT(SGPT)30U/L，总胆红素38.6μmol/L，1分钟胆
具有行气导滞、攻积泄热功用的方剂是
下列经脉中，在大腿部没有经穴分布的是
根据《中华人民共和国水污染防治法》对水污染防治措施的一般规定，下列选项中错误的是()。
背景资料某水利工程经监理工程师批准的施工网络计划如下图所示(单位：天)。合同约定：工程所用全部材料、设备由承包人采购。如工程工期提前，奖励标准为1万元／天；如工程工期延误，支付违约金标准为1万元／天。施工过程中发生如下事件：事件1：当工程施工按计
旅游团即将结束在本地参观游览活动，如果是乘飞机离境，地陪应提前提醒或协助领队确认机票的时间是()。
Inthemid-1950s,Iwasasomewhatboredearly-adolescentmalestudentwhobelievedthatdoinganymorethannecessarywaswaste
二人以上共同过失犯罪，不以共同犯罪论处，应当负刑事责任的，按照他们所犯的罪分别处罚。()

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

考研数学一

求

设函数u(x)，u(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)；

设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=___________．

设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上

原点O(0，0，0)到直线的距离d＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。求A的特征值、特征向量。

已知α1＝[－1，1，a，4]T，α2＝[－2，1，5，a]T，α3＝[a，2，10，1]T是四阶方阵A的三个不同特征值的特征向量，则a的取值为()。

已知随机变量X1与X2相互独立，且有相同的分布如下：则D(X1＋X2)＝()。

设f(x)具有二阶连续导数f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此微分方程的通解。

以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是()

HIV的传播途径不包括

初产妇，40周妊娠，规律宫缩17小时，现宫口开大3cm半小时，胎膜末破，先露头，S-0，宫缩20～30秒/5～6分，弱，规律。此产妇目前应首选的处理是

具有行气导滞、攻积泄热功用的方剂是

下列经脉中，在大腿部没有经穴分布的是

根据《中华人民共和国水污染防治法》对水污染防治措施的一般规定，下列选项中错误的是()。

旅游团即将结束在本地参观游览活动，如果是乘飞机离境，地陪应提前提醒或协助领队确认机票的时间是()。

Inthemid-1950s,Iwasasomewhatboredearly-adolescentmalestudentwhobelievedthatdoinganymorethannecessarywaswaste

二人以上共同过失犯罪，不以共同犯罪论处，应当负刑事责任的，按照他们所犯的罪分别处罚。()