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已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ),若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r.证明:(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ),若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r.证明:(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
admin
2018-09-25
31
问题
已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ),若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r.证明:(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
选项
答案
设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,(Ⅱ)的一个极大无关组为η
1
,η
2
,…,η
r
. 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,即ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,可由η
1
,η
2
,…,η
r
线性表示,于是 r(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
1
,η
2
,…,η
r
)=r(η
1
,η
2
,…,η
r
)=r. 又ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
线性无关,则ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
也可作为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
1
,η
2
,…,η
r
的一个极大无关 组,于是η
1
,η
2
,…,η
r
也可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
线性表示,即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示,得证.
解析
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考研数学一
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