设F(x)可导,下述命题: ①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数; ②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数; ③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数. 正确的个数是 ( )

admin2018-12-21  98

问题 设F(x)可导,下述命题:
①F(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数;
②F(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数;
③F(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数.
正确的个数是    (  )

选项 A、0.
B、1.
C、2
D、3.

答案B

解析 ②是正确的.设F(x)=f(x)为奇函数,则
φ(x)=∫0xf(t)dt必是偶函数.证明如下:
φ(-x)=∫0-xf(t)dt=∫0xf(-t)-dt=∫0xf(t)dt=φ(x).
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)﹢C的形式,所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数.必要性证毕.
设F(x)为偶函数,则F(x)=F(-x),
两边对x求导,得F(x)=-F(-x)
所以F为基函数,充分性证毕.
①是不正确的.反例:(x3﹢1)=3x2为偶函数,但x3’﹢1并非奇函数,必要性不成立.
③是不正确的.反例:(sin x﹢x)=cos x﹢1为周期函数,但sin x﹢x不是周期函数,必要性不成立.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/NAWRFFFM
0

最新回复(0)