设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

admin2018-11-11 43

问题设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：
对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

选项

答案对任意X∈(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0<θ(x)<1．因为f"(x)∈C(-1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(-1，1)内保号，不妨设f"(x)>0，则f(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．

解析

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考研数学二

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