设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2016-04-11 34

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r，
…
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_s线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ …β_r]=[α₁，α₂，…，α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ …β_s]及P=[α₁，α₂，…，α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若x满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r一r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁ …β_r线性无关→r[β₁ β₂ …β_r]=r[*]｜A｜≠0．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

考研数学一

设正交矩阵，其中A是3阶矩阵，λ≠0，且A2=3A。设x=(x1，x2，x3)T，求方程xTAx=0的全部解。

设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数，且f(x)≥0，f(0)=0，f"(x)＞0，D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}，证明：

设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0。

设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

若函数y=f(x)有f’(x0)=1/2，则当△x→0时，该函数在x=x0点外的微分dy是()．

已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

设三阶矩阵A=，三维列向量a=(a，1，1)T．已知Aa与a线性相关，则a=__________．

设f(x)=｜x｜+sinx(-π≤x≤π)的傅里叶展开为(ancosnx+bnsinnx)，则其中的系数a3为()．

已知y”+(x+3e2y)(y’)3=0(y’≠0)，当把y视为自变量，而把x视为因变量时：在新形式下求方程的通解．

某工厂产积木玩具，每生产一套积木玩具的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元．如果每套积木玩具的出厂价为20元，为了不亏本，问该厂每天至少生产多少套这种积木玩具?

血浆胶体渗透压主要由下列哪项形成

压力蒸汽灭菌的消毒物品的包装要求，不正确的是

编制物资供应计划的实际工作中首先应考虑()的平衡。

浅滩疏浚弃土处理应充分利用于()。

根据《建设工程工程量清单计价规范》GB50500—2013，关于全额政府投资项目招标控制价的说法，正确的有()。

期货交易所的下列行为中不需要中国证监会批准的是(　　)。

下列关于存款利息计算的说法，正确的是()。

[2015年]设函数y=y(x)是微分方程y"+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．

E-R图是数据库设计的工具之一，它一般适用于建立数据库的（）。

1ThemenandwomenofAnglo-SaxonEnglandnormallyboreonenameonly.Distinguishingepithetswererarelyadded.Thesemigh

设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

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设正交矩阵，其中A是3阶矩阵，λ≠0，且A2=3A。设x=(x1，x2，x3)T，求方程xTAx=0的全部解。

设f(x)在[0，a](a＞0)上有二阶连续导数，且f(x)≥0，f(0)=0，f"(x)＞0，D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤f(x)}，证明：

设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0。

设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

若函数y=f(x)有f’(x0)=1/2，则当△x→0时，该函数在x=x0点外的微分dy是()．

已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

设三阶矩阵A=，三维列向量a=(a，1，1)T．已知Aa与a线性相关，则a=__________．

设f(x)=｜x｜+sinx(-π≤x≤π)的傅里叶展开为(ancosnx+bnsinnx)，则其中的系数a3为()．

已知y”+(x+3e2y)(y’)3=0(y’≠0)，当把y视为自变量，而把x视为因变量时：在新形式下求方程的通解．

某工厂产积木玩具，每生产一套积木玩具的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元．如果每套积木玩具的出厂价为20元，为了不亏本，问该厂每天至少生产多少套这种积木玩具?

血浆胶体渗透压主要由下列哪项形成

压力蒸汽灭菌的消毒物品的包装要求，不正确的是

编制物资供应计划的实际工作中首先应考虑()的平衡。

浅滩疏浚弃土处理应充分利用于()。

根据《建设工程工程量清单计价规范》GB50500—2013，关于全额政府投资项目招标控制价的说法，正确的有()。

期货交易所的下列行为中不需要中国证监会批准的是( )。

下列关于存款利息计算的说法，正确的是()。

[2015年]设函数y=y(x)是微分方程y"+y’－2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=_______．

E-R图是数据库设计的工具之一，它一般适用于建立数据库的（）。

1ThemenandwomenofAnglo-SaxonEnglandnormallyboreonenameonly.Distinguishingepithetswererarelyadded.Thesemigh

期货交易所的下列行为中不需要中国证监会批准的是(　　)。