设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2016-04-11 38

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r，
…
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_s线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ …β_r]=[α₁，α₂，…，α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ …β_s]及P=[α₁，α₂，…，α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若x满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r一r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁ …β_r线性无关→r[β₁ β₂ …β_r]=r[*]｜A｜≠0．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr， … βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

考研数学一

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0,证明：方程f"(x)－f(x)=0在（0,1）内有根。

设f(x)二阶连续可导，且,则()。

设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。证明：

设向量β=(b，1，1)T可由α1=(a，0，1)T，α2=(1，a-1，1)T，α3=(1，0，a)T线性表示，且表示方法不唯一，记A=(α1，α2，α3)。求a，b的值，并写出β由α1，α2，α3表示的线性表达式

设f(x)在[2，+∞)上可导，f(x)＞0，f(2)=1，且满足[xf(x)]’≤-kf(x)(k为大于零的常数)，则()

已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

求二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2的秩和正、负惯性指数．

一串钥匙，共有10把，其中有4把能打开门，因开门者忘记哪些能打开门，便逐把试开，求下列事件的概率：最多试3把钥匙就能打开门

设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{丨x-μ丨

有甲、乙两个口袋，两袋中都有3个白球2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设4个球中的黑球数用X表示，求X的分布律．

用于显示小胶质细胞的染色方法是

光镜的最大分辨率约()。

根据生命周期理论，家庭生命周期各阶段中可承受投资风险最高的是()。

以下不属于西藏特产的有()。

足球比赛开始前，裁判员应召集双方队长，用投币的方式决定_和_。

当人确信自己有能力进行某一活动时，就会产生高度的()，并去进行这一活动。

从1997.09.30到2000.03.10间，接收的申请人总数为：1997.09.30-1998.07.01接收的申请人数占这几年接收总数的百分比是：

安德森的产生式迁移理论是()的现代翻版。

对(甲)文中“不必太滞”理解正确的一项是：从(丙)文我们得知陶渊明其号的来历，而自传中所表现的情趣与其诗作、__颇为一致。

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设f(x)二阶连续可导，且,则()。

设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。证明：

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