设f(x)在[2，+∞)上可导，f(x)＞0，f(2)=1，且满足[xf(x)]’≤-kf(x)(k为大于零的常数)，则( )

admin2022-01-06 40

问题设f(x)在[2，+∞)上可导，f(x)＞0，f(2)=1，且满足[xf(x)]’≤-kf(x)(k为大于零的常数)，则

( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、k

答案A

解析由[xf(x)]’≤-kf(x)，有f(x)+xf’(x)≤-kf(x)，又由f(x)＞0，有(-1-k)/x≥f’(x)/f(x)，故∫₂^x(-1-k)/tdt≥∫₂^xf’(t)/f(t)，x∈[2，∞)，即(-1-k)lnx-(-1-k)ln2≥lnf(x)-lnf(2)，故lnx^-1-k/2^-1-k≥lnf(x)，所以0＜f(x)≤2^1+k·x^-1-k=(2/x)^1+k而