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  3. 已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．

已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．

admin2019-07-19  18
问题 已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．
选项
答案因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A)＝1，因此t＝n－1． 若k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1＋lβ＝0， ① 用A左乘上式，并把Aαi＝0(i＝1，2，…，n－1)代入，得 lAβ＝0． 由于Aβ≠0，故l＝0．于是①式为 k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1＝0． ② 因为α1，α2，…，αn-1是基础解系，知α1，α2，…，αn-1线性无关． 从而由②知k1＝0，k2＝0，…，kn-1＝0． 因此α1，α2，…，αn-1，β线性无关． 对任一n维向量γ由于任意n＋1个n维向量α1，α2，…，αn-1，β，γ必线性相关，那么γ必可由α1，…，αn-1，β线性表出．
解析
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考研数学一

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