设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=1／2[∫01f(x)dx]2．

admin2018-06-15 35

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(y)dy=1／2[∫₀¹f(x)dx]²．

选项

答案先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(y)dy=[*]f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)}0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．33，它与D’={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是 [*] =∫₀¹dx∫₀¹f(x)f(y)dy =∫₀¹f(x)dx．∫₀¹f(y)dy=[∫₀¹f(x)dx]²，因此，I=1／2[∫₀¹f(x)dx]²． [*]

解析

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考研数学一

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积分=()
设f(u)具有连续的一阶导数，LAB为以为直径的左上半个圆弧，从A到B，其中点A(1，1)，点B(3，3)．则第二型曲线积分=________
设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()
证明：A～B，其中并求可逆阵P，使得P-1AP=B．
设一阶非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=________
微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是_______
求过两点A(0，1，0)，B(-1，2，1)且与直线x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t平行的平面方程．
定积分=_________
设φ(y)为连续函数．如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l上，曲线积分其值与具体l无关，为同一常数k．证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域D0上，曲线积分与具体的C无关而仅与点A，B有关．
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Shedoesn’ttalkmuch,butwhatshesaysmakes______.

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