设函数f(x)在（－∞，+∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有（）。

admin2021-07-02 47

问题设函数f(x)在（－∞，+∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有（）。

选项 A、1个极小值点和2个极大值点
B、2个极小值点和1个极大值点
C、2个极小值点和2个极大值点
D、3个极小值点和1个极大值点

答案A

解析题目研究的是极值点，而极值点只能出现在导数为零的点或不可导的点处，因此只需考虑这两类特殊点，由导函数的图形可知，导数为零的点有3个，如图所示，自左向右为x₁,x₂,x₃.

在这些点两侧，f’(x)异号，当x＜x₁时，f’(x)＞0；
当x₁＜x＜x₂时，f’(x)＜0；
可知x₁为f(x)的极大值点。
当x₂＜x＜0时，f’(x)＞0,可知x₂为f(x)的极小值点。
当0＜x＜x₃时，f’(x)＞0,当x＞x₃时，f’（x)＜0，可知x₃为f(x)的极大值点。
由于f(x)在（－∞，+∞）内连续，由导函数的图形知，在x=0处f(x)不可导。
当x₂＜x＜0时，f’(x)＞0,当0＜x＜x₃时，f’(x)＞0，因此x=0不是f(x)的极值点。
综上可知，函数f(x)有1个极小值点和2个极大值点，故选A.

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考研数学二

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