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  3. (数学一)已知方程x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3＝4的图形为柱面，求a及柱面母线的方向，并说出此柱面的名称．

(数学一)已知方程x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3＝4的图形为柱面，求a及柱面母线的方向，并说出此柱面的名称．

admin2020-06-05  32
问题 (数学一)已知方程x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3＝4的图形为柱面，求a及柱面母线的方向，并说出此柱面的名称．
选项
答案令f(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3，则一定存在一个正交变换x＝Py，使得f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(Py)TA(Py)＝yT(PTAP)＝yT[*]y，其中x＝(x1，x2，x3)T，y＝(y1，y2，y3)T，PTAP＝[*]＝diag(λ1，λ2，λ3)，这里λi是二次型矩阵A的特征值．此时方程x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3＝4在正交变换x＝Py下转化为方程λ1y12＋λ2y22＋λ3y32＝4．注意到正交变换具有保持几何图形的不变性，要使得方程x12＋3x22＋x32＋2ax1x2＋2x1x3＋2x2x3＝4的图形为柱面，只要方程λ1y12＋λ2y22＋λ3y32＝4的图形为柱面，为此可得到λi(i＝1，2，3)有一个等于零，那么二次型f(x1，x2，x3)的矩阵的行列式只等于零，即[*]＝0，也就是a＝1．此时矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣λ(λ－1)(λ－4) 进而A的特征值为λ1＝0，λ2＝1，λ3＝4，于是曲面的标准方程为 y22＋4y32＝4 这是一个椭圆柱面． 从柱面的标准方程知该柱面的母线平行y1轴，故柱面母线方向向量在Oy1y2y3坐标系中的坐标为(1，0，0)T，因而在Ox1x2x3坐标系中的坐标为 [*] 即知柱面母线的方向向量就是对应λ＝0的特征向量p1由 A－0E＝[*] 得Ax＝0的基础解系p1＝[*](1，0，﹣1)T，所以柱面母线的方向向量为(1，0，﹣1)T．
解析
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