2. 考研
  3. (1997年试题，三(5))已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

(1997年试题，三(5))已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．

admin2013-12-18  111
问题 (1997年试题，三(5))已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x一e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
选项
答案本题考查线性非齐次方程解的性质，由题设，y1一y3=e-x是对应齐次方程的解，y1一y2=e2x—e-x也是对应齐次方程的解，从而e-x+(e2x一e-x)也是对应齐次方程的解，因此e-xe2x是齐次方程的解，此外,xex是非齐次方程的解．由e-x与e2x可判断出齐次方程两个特征值[*]，λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ2一λ一2=0，因此齐次方程为y’’一y’一2y=0，将xex代入该齐次方程，得ex(1—2x)，综上可知所求非齐次微分方程为y’’一y’一2y=ex(1—2x)
解析 对于二阶常系数线性齐次微分方程y’’+py’+gy=0，函数Aeex是其解的充要条件为λ=α为其特征方程λ2+pλ+q=0的根；函数Aeaxsinβx，βeaxcosβ，或eαx(Asinβx+Bc0sβx)为其解的充要条件为λ=α±β为其特征方程λ2+pλ+q=0的根．对于本题可先求齐次微分方程的解，再求对应的非齐次微分方程的特解．
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考研数学二

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