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  3. [2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )．

[2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )．

admin2021-01-25  56
问题 [2002年]  设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0(    )．
选项 A、当n＞m时，仅有零解
B、当n＞m时，必有非零解
C、当m＞n时，仅有零解
D、当m＞n时，必有非零解
答案D
解析 解一  显然AB为m阶矩阵，因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组，而当m＞n时，有秩(AB)≤秩(A)≤n＜m．因而(AB)X=0有非零解．仅(D)入选．
    解二  因秩(A)≤min(m，n)，秩(B)≤min(m，n)，而秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))，于是当n＞m时，有秩(A)≤m，秩(B)≤m，秩(AB)≤m，而AB为m阶矩阵．由于秩(AB)可能小于等于m，只能说当n＞m时，如果秩(AB)=m，则(AB)X=0只有零解，如果秩(AB)＜m，(AB)X=0必有非零解，因而(A)、(B)都不对．
    又当n＜m时，秩(AB)≤n＜m，而AB为m阶矩阵，因而矩阵AB的秩小于未知数的个数，齐次方程(AB)X=0必有非零解，于是(C)也不对．仅(D)入选．
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考研数学三

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