∫02πsinnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)=________．

admin2020-03-10 48

问题 ∫₀^2πsinⁿxcos^mxdx(自然数n或m为奇数)=________．

选项

答案0

解析由周期函数的积分性质得
I_n，m

∫₀^2πsinⁿxcos^mxdx=∫_－π^πsinⁿxcos^mxdx．
当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故I_n，m=0．
当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时
I_n，m=∫_－π^πsinⁿx(1－sin²x)^kdsinx=R(sinx)｜_－π^π=0，
其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．
因此，I_n，m=0．

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